Análise Complexa
Primeiro semestre do ano lectivo 2015/2016.
Representação do gráfico da função $f(x) = (x^2 − 1)(x − 2 − i)^2 / (x^2 + 2 + 2i)$
A cor representa o argumento, e o brilho representa o módulo.
A análise complexa é a área da matemática que lida com funções de variável complexa. Muitos matemáticos descrevem esta área como "calculus done right". É também considerada "one of the most beautiful as well as useful branches of mathematics"1
De facto, a análise complexa tem importância fundamental em várias outras áreas que vão desde a geometria algébrica e a teoria dos números à matemática aplicada, sendo também extremamente útil nas ciências como a mecânica, a electrotecnia, a dinâmica de fluidos, etc.
A diversidade de aplicações é consequência da sua simplicidade comparada com a análise real: ao contrário do que possa parecer, as variáveis complexas simplificam a teoria das funções ao nível das propriedades dos integrais, derivadas e séries. Além disso, a análise complexa esteve presente no desenvolvimento doutras áreas da matemática como a topologia algébrica e geometria diferencial. Alguns dos mais famosos problemas em aberto na matemática estão formulados naturalmente nesta linguagem: a hipótese de Riemann, por exemplo.
Nesta disciplina, partindo das bases adquiridas em ACED, abordam-se os aspectos fundamentais da teoria de funções de uma variável complexa: propriedades locais e globais das funções holomorfas, meromorfas e harmónicas, estudam-se automorfismos de regiões no plano e na esfera de Riemann, e a representação de funções inteiras de ordem finita. Introduzem-se também alguns tópicos mais avançados como as funções elípticas e a continuação analítica, base do estudo das superfícies de Riemann.
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Complex Analysis
of the 1st Semester of the year 2015/2016
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